Funkcje ciągłe Funkcjonał całkowy Rozkład (matematyka)

Dystrybucje wolno rosnące

Szereg zastosowń wymaga specjalnych klas dystrybucji. Szczególnie ważne są tzw. dystrybucje wolno rosnące zwane też dystrybucjami temperowanymi. Na tej klasie dystrybucji można stosunkowo prosto zdefiniować transformate Fouriera. W celu określenia dystrybucji temperowanych wprowadzimy najpierw tzw. przestrzeń funkcji szybko malejących.

Definicja 1:

Oznaczmy przez \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) przestrzeń funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in C^{\infty}( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) takich, że

\( \displaystyle\lim_{\|x\|\to \infty} \|x\|^m D^{ k}\varphi (x)=0 \)

dla dowolnego \( \hskip 0.3pc m\in \mathbb N\hskip 0.3pc \) oraz dowolnego wielowskażnika \( \hskip 0.3pc k=(k_1, \ldots ,k_n ).\hskip 0.3pc \)

Elementy przestrzeni \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) nazywamy funkcjami szybko malejącymi. Przykładem funkcji szybko malejącej jest funkcja \( \hskip 0.3pc x\mapsto e^{-\|x\|^2},\hskip 0.3pc \) \( x\in \mathbb R^n. \hskip 0.3pc \) Zauważmy też, że \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n )\subset S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) bowiem \( \hskip 0.3pc D^{ k}\varphi (x)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc \|x\| \hskip 0.3pc \) dostatecznie dużych.

Uwaga 1:

Funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy, jeśli dla dowolnego \( \hskip 0.3pc m\in \mathbb N\hskip 0.3pc \) oraz dowolnego wielowskażnika \( \hskip 0.3pc k=(k_1, \ldots ,k_n )\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc x \mapsto \|x\|^m D^{ k}\varphi (x)\hskip 0.3pc \) jest ograniczona.

Istotnie, dla \( \hskip 0.3pc m\in \mathbb N,\hskip 0.3pc \) \( k=(k_1, \ldots ,k_n )\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \varphi \in C^{\infty}( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( \varphi ^{m, k}(x)=\|x\|^mD^{ k}\varphi (x),\quad x\in \mathbb R^n . \)

Przypuśćmy, że \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \) Dla ustalonych \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) dobierzmy \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) tak, aby

\( \hskip 0.3pc |\varphi ^{m, k}(x)|\leq 1\hskip 0.5pc {\rm dla}\hskip 0.4pc \|x\|\geq r \)

Ponieważ jako funkcja ciągła \( \hskip 0.3pc \varphi ^{m, k}\hskip 0.3pc \) jest ograniczona w kuli \( \hskip 0.3pc B(0,r),\hskip 0.3pc \) zatem \( \hskip 0.3pc \varphi ^{m, k}\hskip 0.3pc \) jest ograniczona w \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n. \hskip 0.3pc \)
Przypuśćmy teraz, że funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi ^{m, k}\hskip 0.3pc \) są ograniczone w \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n \hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc k.\hskip 0.3pc \) Stąd i równości

\( \hskip 0.3pc \varphi ^{m+1, k}(x)=\|x\|\varphi ^{m, k}(x)\hskip 0.3pc \)

oraz faktu, że funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi ^{m+1, k}(x)\hskip 0.3pc \) jest ograniczona, wnosimy natychmiast, że

\( \hskip 0.3pc \varphi ^{m, k}(x)\to 0\hskip 0.5pc {\rm gdy}\hskip 0.4pc \|x\|\to \infty. \)

Przestrzeń \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) posiada szereg interesujących własności. Niektóre z nich zostały przedstawione w poniższych uwagach.

Uwaga 2:

Niech \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) oznacza przestrzeń funkcji szybko malejących.

(i). Funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \hskip 0.3pc \varphi \in C^{\infty}( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) i ponadto dla dowolnego wielomianu \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \) oraz dowolnego wielowskażnika \( \hskip 0.3pc k=(k_1, \ldots ,k_n)\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc P\circ D^{ k}\varphi\hskip 0.3pc \) jest ograniczona.

(ii). Jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc D^{ k}\varphi \in S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) dla dowolnego wielowskażnika \( \hskip 0.3pc k=(k_1, \ldots ,k_n )\hskip 0.3pc \).

(iii). Jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi , \psi \in S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc \varphi \psi \in S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)

Istotnie, własności (i) i (ii) są oczywiste, a własność (iii) wynika natychmiast ze wzoru

\( D^{ k}(\varphi \psi )= \sum c_{ p q}D^{ p}\varphi D^{ q}\psi , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc p=(p_1, \ldots ,p_n ),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc q=(q_1, \ldots ,q_n ),\hskip 0.3pc \) \( p+ q= k,\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc c_{ p q}\hskip 0.3pc \) są stosownie dobranymi stałymi. Ponieważ każda z funkcji \( \hskip 0.3pc x\mapsto \|x\|^mD^{ p}\varphi \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc x\mapsto \|x\|^mD^{ q}\psi (x)\hskip 0.3pc \) jest ograniczona, również funkcja \( \hskip 0.3pc x\mapsto \|x\|^mD^{ k}(\varphi \psi )(x)\hskip 0.3pc \) jest ograniczona. Na mocy uwagi 1 wnioskujemy, że \( \hskip 0.3pc \varphi \psi \in S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)

Uwaga 3:

Prawdziwa jest następująca inkluzja: \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\subset L^p( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc p\geq 1.\hskip 0.3pc \)

Istotnie, niech \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \). Zgodnie z uwagą 1 istnieje stała \( \hskip 0.3pc M>0\hskip 0.3pc \) taka, że

\( (1+x_1^2)\cdots (1+x_n^2)|\varphi (x_1,\ldots ,x_n)|\leq M \qquad {\rm dla}\quad x_1, \ldots ,x_n \in \mathbb R. \)

Zatem

\( |\varphi (x_1,\ldots ,x_n)|\leq \dfrac M{(1+x_1^2)\cdots (1+x_n^2)}. \)

W konsekwencji, dla \( \hskip 0.3pc p\geq 1\hskip 0.3pc \) mamy

\( \begin{aligned}\displaystyle\int_{ \mathbb R^n }|\varphi (x)|^p\,dx \leq & M^p\displaystyle\int_{ \mathbb R^n } \dfrac 1{(1+x_1^2)^p\cdots (1+x_n^2)^p}\,dx_1\ldots dx_n=\\& M^p\displaystyle\int_{\mathbb R} \dfrac 1{(1+x_1^2)^p}dx_1\cdots \displaystyle\int_{\mathbb R} \dfrac 1{(1+x_n^2)^p}\,dx_n \leq\\& M^p\displaystyle\int_{\mathbb R} \dfrac 1{1+x_1^2}dx_1\cdots \displaystyle\int_{\mathbb R} \dfrac 1{1+x_n^2}\,dx_n \leq M^p\pi^n,\end{aligned} \)

co oznacza, że \( \hskip 0.3pc \varphi \in L^p( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)

Definicja 2:

Mówimy, że ciąg funkcji \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\}\hskip 0.3pc \) należących do \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) jeśli dla dowolnego \( \hskip 0.3pc m \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) oraz dowolnego wielowskażnika \( \hskip 0.3pc k=(k_1, \ldots ,k_n ),\hskip 0.3pc \) ciąg \( \hskip 0.3pc \big\{x\mapsto \|x\|^mD^{ k}\varphi_i(x)\big\}\hskip 0.3pc \) jest jednostajnie zbieżny w \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n \hskip 0.3pc \) do funkcji \( \hskip 0.3pc x\mapsto \|x\|^mD^{ k}\varphi (x).\hskip 0.3pc \)

Zauważmy, że ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i-\varphi \}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do zera w przestrzeni \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)

Zauważmy też, że ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\} \subset D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) w przestrzeni \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ten jest również zbieżny do funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) w sensie zbieżności przestrzeni \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \) Wynika to z faktu, że wszystkie funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi _i\hskip 0.3pc \) oraz ich pochodne są równe zeru poza pewnym zbiorem zwartym, a na tym zbiorze mamy zbieżność jednostajną na mocy definicji zbieżności w \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)

Lemat 1:

Dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) istnieje ciąg funkcji \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\} \subset D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) taki, że \( \hskip 0.3pc \varphi_i\to\varphi \hskip 0.3pc \) w sensie zbieżności w przestrzeni \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) (tzn. zbiór \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) jest gesty w zbiorze \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ).\hskip 0.1pc \))

Dowód. Dla uproszczenia zapisu rozważmy przypadek \( \hskip 0.3pc n=1\hskip 0.3pc \) (dla \( \hskip 0.3pc n\geq 2\hskip 0.3pc \) idea dowodu jest analogiczna).
Ustalmy funkcje \( \hskip 0.3pc \psi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) taką, że \( \hskip 0.3pc |\psi (x)|\leq 1\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x\in \mathbb R\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \psi (x)=1\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc |x|\leq 1.\hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \) Dla \( \hskip 0.3pc i \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( \varphi _i=\varphi \, \psi _i \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \psi _i(x)=\psi (x/i).\hskip 0.3pc \)
Zauważmy, że

\( \|\varphi _i-\varphi \|_{\infty}=\|\varphi (\psi-1)\|_{\infty}\leq \displaystyle\sup_{|x|\geq i} |\varphi (x)|. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \varphi (x)\to 0\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc |x|\to \infty,\hskip 0.3pc \) z ostatniej nierówności wynika, że \( \hskip 0.3pc \varphi _i \to \varphi \hskip 0.3pc \) jednostajnie w \( \hskip 0.3pc \mathbb R.\hskip 0.3pc \)

Dla \( \hskip 0.3pc m \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) rozważmy teraz funkcje: \( \hskip 0.3pc x\mapsto x^m\varphi (x),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc x\mapsto x^m\varphi_i(x),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.1pc i\in \mathbb N.\hskip 0.3pc \) Oczywiście funkcje te należą do \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \) Powtarzając powyższe argumenty łatwo sprawdzić, że \( \hskip 0.3pc x^m\big(\varphi _i(x)-\varphi (x)\big) \to 0\hskip 0.3pc \) jednostajnie w \( \hskip 0.3pc \mathbb R.\hskip 0.3pc \)

Dla zakończenia dowodu pozostaje sprawdzić, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc k\in \mathbb N\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc m \in {\mathbb N} \cup \{0\},\hskip 0.3pc \) ciąg \( \hskip 0.3pc x^m\big(\varphi _i-\varphi \big)^{(k)}(x) \to 0\hskip 0.3pc \) jednostajnie w \( \hskip 0.3pc \mathbb R.\hskip 0.3pc \)
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \varphi _i-\varphi = \varphi (\psi _i-1),\hskip 0.1pc \) \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.1pc \)-ta pochodna z funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi _i-\varphi\hskip 0.3pc \) jest kombinacją pochodnych \( \hskip 0.3pc \varphi_i^{(k)} (\psi _i-1)\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \varphi_i^{(k-j)} \psi _i^{(j)},\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc j=1, \ldots ,k.\hskip 0.3pc \) Ponieważ każda z tych funkcji jest elementem przestrzeni \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) i dąży do zera przy \( \hskip 0.3pc |x|\to \infty,\hskip 0.3pc \) rozumując jak poprzednio możemy pokazać, że \( \hskip 0.3pc \varphi_i^{(k)} (\psi _i-1)\to 0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \varphi_i^{(k-j)} \psi _i^{(j)}\to 0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc j=1, \ldots ,k,\hskip 0.3pc \) jednostajnie w \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \). W konsekwencji \( \hskip 0.3pc (\varphi _i-\varphi )^{(k)} \to 0\hskip 0.3pc \) jednostajnie w \( \hskip 0.3pc \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Analogicznie możemy pokazać, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc m,k\in \mathbb N,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc x^m(\varphi _i-\varphi )^{(k)}(x)\to 0\hskip 0.3pc \) jednostajnie w \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) co kończy dowód.

Definicja 3: Dystrybucja wolno rosnąca.

Dystrybucją wolno rosnącą (albo temperowaną) nazywamy dowolny ciągły funkcjonał liniowy \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) określony na \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) tzn. odwzorowanie liniowe \( \hskip 0.3pc T:S( \mathbb R^n )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) takie, że jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi_i, \varphi \in S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.1pc \varphi_i \to \varphi\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc \langle T,\varphi_i\rangle \to\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.1pc \langle T, \varphi \rangle.\hskip 0.3pc \) Zbiór wszystkich dystrybucji temperowanych bedziemy oznaczać symbolem \( \hskip 0.3pc S^*( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)

Zauważmy, że każda dystrybucja temperowana jest oczywiście dystrybucją, tzn. \( \hskip 0.3pc S^*( \mathbb R^n ) \subset D^*( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \) Przestrzeń \( \hskip 0.3pc S^*( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni \( \hskip 0.3pc D^*( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) co oznacza, że istnieją dystrybucje które nie są dystrybucjami temperowanymi. Na przykład

\( T=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}e^{k^2}\delta_k \)

jest dystrybucją w \( \hskip 0.3pc D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) ale nie jest dystrybucją temperowaną.
Istotnie, funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi (x)=e^{-x^2}\hskip 0.3pc \) jest elementem przestrzeni \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) a szereg

\( \langle T, \varphi \rangle =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}e^{k^2}\varphi (k) \)

jest rozbieżny. Zatem \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) nie jest określona na \( \hskip 0.3pc \varphi, \hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc T\notin S^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \).

Warto odnotować, że znajomość wartości dystrybucji temperowanej na zbiorze \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) wystarczy do wyznaczenia jej wartości na \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \) Istotnie, dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \)

\( \langle T ,\varphi \rangle =\displaystyle\lim_{i\to \infty}\langle T ,\varphi_i \rangle , \)

gdzie ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi _i\}\hskip 0.3pc \) jest dany przez lemat 1.
Z ostatniej obserwacji oraz liniowości dystrybucji wynika natychmiast nastepująca uwaga:

Uwaga 4:

Dystrybucja \( \hskip 0.3pc T\in D^*( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją temperowaną wtedy i tylko wtedy, gdy

\( \displaystyle\lim_{i\to \infty}\langle T,\varphi _i\rangle =0, \)

dla dowolnego ciągu \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\}\subset D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) takiego, że \( \hskip 0.3pc \varphi _i\to 0\hskip 0.3pc \) w sensie zbieżności w przestrzeni \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \).

Przykład 1:

Delta Diraca jest dystrybucją temperowaną.

Istotnie, niech \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\}\subset D( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.1pc \varphi _i\to 0\hskip 0.3pc \) w sensie zbieżności w przestrzeni \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \varphi _i(0)\to 0,\hskip 0.3pc \) zatem \( \hskip 0.3pc \langle \delta, \varphi _i\rangle= \varphi _i(0)\to 0,\hskip 0.3pc \) co wobec uwagi 4 oznacza, że \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją temperowaną.

Uwaga 5:

Każdy wielomian generuje dystrybucje temperowaną.

Istotnie, mając zadany wielomian \( \hskip 0.3pc q\hskip 0.3pc \) dobierzmy wielomian \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) tak aby \( \hskip 0.3pc q/w \in L^1( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) (Jeśli \( \hskip 0.3pc q\hskip 0.3pc \) jest wielomianem stopnia \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) wystarczy wziąć wielomian \( \hskip 0.3pc w(x)=1+\|x\|^{2m+4}).\hskip 0.3pc \) Rozważmy ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\}\subset D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) taki, że \( \hskip 0.3pc \varphi _i\to 0\hskip 0.3pc \) w sensie zbieżności w przestrzeni \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \) Oczywiście

\( |\langle T_q,\varphi _i\rangle |= \big|\displaystyle\int_{ \mathbb R^n } q \,\varphi _i\, dx \big|=\big| \displaystyle\int_{ \mathbb R^n }\tfrac qw \,w\varphi _i\, dx \big|\leq \|w\varphi _i\|_{\infty}\|\tfrac qw\|_{ L^1} . \)

Z definicji zbieżności w \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) wynika, że \( \hskip 0.3pc \|w\varphi _i\|_{\infty} \to 0\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc i\to \infty.\hskip 0.3pc \) W konsekwencji

\( \hskip 0.3pc \langle T_q,\varphi _i\rangle\to 0\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc i\to \infty.\hskip 0.3pc \) Na mocy uwagi 4 wnioskujemy, że \( \hskip 0.3pc T_q\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją temperowaną.

Temat:
Opis:
Typ:

Email: